复习 2011-2012-1

复习微积分

由招文桃在2019年12月20日发布

A

一、求下列极限(5 X 4 = 20 分)

1. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\frac{2x+3}{2x-3})^{3x+2}$

2. $\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x-\arcsin x}{\sin x^3}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{2})^{\frac{1}{\sin^2 x}}$

4. $\displaystyle\lim_{x\to x^{0^+}} \frac{\int_{0}^{x^2}t^{\frac{3}{2}}dt}{\int_{0}^{x}t(t-\sin t)dt}$

二、

求函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 3x + 2}$ 的间断点并判别其类型。(6 分)

三、

求下列导数或微分 (6 X 4 = 24 分)

1. 设 $\displaystyle y = \ln \cos e^{2x}$, 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

2. 设函数 $\displaystyle y = \arcsin \sqrt{1 -x^2}$,求 $dy$ .

3. 求由方程 $\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \arcsin \sqrt{1 - x^2}$, 求 $dy$ .

4.,求 $\displaystyle \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。

四、计算下列积分 ( 5 X 4 = 20 分)

1. $\displaystyle \int \frac{x^2}{1-2x^3}dx$

2. $\displaystyle\int x^2 \arctan x dx$

3. $\displaystyle \int_{0}^{1}x^2 \sqrt{1 - x^2}dx$.

4. $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(1 + x^2)^2}dx$

五、

证明方程 $\displaystyle \ln x = \frac{x}{e} - 1$ 在区间 $(e^{-1}, e^3)$ 内至少有一个实根。

六、

求曲线 $\displaystyle y = (2x - 5) \sqrt [3] {x^2}$ 的凹凸区间和拐点。

七、

用拉格朗日中值定理证明不等式:

$nb^{n-1}(a-b) \lt a^n - b^n \lt na^{n-1}(a - b)$ ,其中 $0 \lt b \lt a, n \gt 1$。

八、

求由 $y = x^3, x = 2, y = 0$ 所围成图形的面积,并求该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。


B

一、求下列极限(5 X 4 = 20 分)

1. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(\frac{3x+2}{3x-1})^{2x}$

2. $\displaystyle\lim_{x\to0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1})$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

4. $\displaystyle\lim_{x\to x^{0^+}} \frac{(\int_{0}^{x}\cos t^2 dt)^2}{\int_{0}^{x}\sin t^2 dt}$

二、

求函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 5x + 4}$ 的间断点并判别其类型。(6 分)

三、

求下列导数或微分 (6 X 4 = 24 分)

1. 设 $\displaystyle y = \ln \cos e^{3x}$, 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

2. 设函数 $\displaystyle y = \sqrt [a]{x}+\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{x}$,求 $dy$ .

3. 求由方程 $e^{xy} + y\ln x = \sin 2x$ 所确定的隐函数 $y = y(x)$ 的导数 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

4.,求 $\displaystyle \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。

四、计算下列积分 ( 5 X 4 = 20 分)

1. $\displaystyle \int \frac{1}{1-\cos 2x}dx$

2. $\displaystyle\int x \ln^2 x dx$

3. $\displaystyle \int_{0}^{1}x^3 \sqrt{1 - x^2}dx$.

4. $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1 + x)^3}dx$

五、

证明方程 $\displaystyle x\ln x = 2$ 在区间 $(1, e)$ 内至少有一个实根。

六、

求曲线 $\displaystyle y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 25$ 的凹凸区间和拐点。

七、

用拉格朗日中值定理证明不等式:

$\displaystyle \frac{a-b}{a} \lt \ln \frac{a}{b} \lt \frac{a-b}{b}$ ,其中 $0 \lt b \lt a$。

八、

求由 $y = x^2, y = x, x = 2$ 所围成图形的面积,并求该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。