复习 2012-2013-1

复习微积分

由招文桃在2019年12月20日发布

A

一、填空(21 分,每小题 3 分)

1. 函数 在 $x = 0$ 点连续,则 $a = $ __ .

2. 当 $x\to 0$ 时,$\displaystyle ax - 3 \sin x$ 与 $x$ 等价,则 $a= $ __

3. 设 $f(x) = e^{2x}$,则$f^{(n)}(0)$= __

4. 曲线 $\displaystyle y = \ln x$ 上与直线 $x + y = 1$ 垂直的切线方程为 __

5. 曲线 $y = xe^x$ 的拐点为 __.

6. 设$\displaystyle\Phi(x) = \int_{1}^{1+x^2} \sin t^2 dt$,则 $\Phi’(1) =$ __ .

7. $\displaystyle\int_{-a}^{a}(x\cos x - 5\sin x + 1)dx=$__

二、计算题(每小题 5 分,共 25 分)

1. 求$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x^2+1}$

2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{\ln(1+x^2)}}$

3. 设 $y = \ln[\sin(10+3x^2)]$,求 $dy$ .

4. 设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 所确定,求 $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$

三、计算下列各题

1. $\displaystyle\int(e^{-\sin x} + 3 \sin^2 x) \cos x dx$

2. $\displaystyle\int x \arctan x dx$

3. $\displaystyle\int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^x - 1} dx$

4. $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x(1+x)}dx$

四、

求函数 $y = (x - 5x)x^{\frac{2}{3}}$ 的增减区间及极值。

五、 (8 分)

求由曲线 $y = e^x$ 、直线 $y = 2$ 及 $y$ 轴所围成图形的面积,并求该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、 证明题

1. 证明:当 $x > 0$ 时, $\displaystyle \ln(1+x) > \frac{\arctan x}{1 + x}$ .

2. 证明方程 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}x - 1 = 0$ 在 $(0,1)$内有根。

B

一、填空(21 分,每小题 3 分)

1. 函数 在 $x = 0$ 点连续,则 $a = $ __ .

2. 当 $x\to 0$ 时,$\displaystyle e^{ax}-1+x^2$ 与 $x$ 等价,则 $a= $ __

3. 设 $f(x) = a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+\dots+a_{n}$,则$f^{(n)}(0)$= __

4. 曲线 $\displaystyle y = \ln x$ 上在点 $(e,1)$处的切线方程为为 __

5. 曲线 $y = x^3 + 3x^2 + 1$ 的拐点为 __.

6. 设$\displaystyle\Phi(x) = \int_{1}^{\cos x} e t^2 dt$,则 $\displaystyle\Phi’(\frac{\pi}{2}) =$ __ .

7. $\displaystyle\int_{-3}^{3}(\sin^5+3x^2)dx=$__

二、计算题(每小题 5 分,共 25 分)

1. 求$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^4\sin \frac{1}{x}}{x^3+2x^2+1}$

2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} (\cos x\sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$

3. 设 $y = \arctan \ln(3x - 1)$,求 $dy$ .

4. 设函数 $y = y(x)$ 由方程 $x - y + \frac{1}{2} \sin y = 0$ 所确定的隐函数,求 $y’’$ .

三、计算下列各题

1. $\displaystyle\int x(e^{-x^2} + \sqrt{1-x^2})dx$

2. $\displaystyle\int x^4 \ln x dx$

3. $\displaystyle\int_{-1}^{3}\frac{x}{\sqrt{7-2x}} dx$

4. $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2 + 4x + 5}dx$

四、

求函数 $\displaystyle y = (x - 4)(x+1)^{\frac{2}{3}}$ 的增减区间及极值。

五、 (8 分)

求由曲线 $y = x^2$ 、直线 $y = 4$ 及 $y$ 轴所围成图形的面积,并求该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、 证明题

1. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 内可导,证明至少存在一点 $\xi \in (a, b)$,满足 $\displaystyle \frac{bf(b)-af(a)}{b - a} = f(\xi) + \xi f’(\xi)$ .

2. 证明方程 $x + 1 + \sin x = 0$ 在区间 $\displaystyle(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 上至少有一个根。