复习 2014-2015-1

复习微积分

2019年12月22日发布📑

A

一、填空题

1. 若函数 \(f(x) =\begin{cases}a + x, x > 0 \\ e^{-x},\space\space\space x < 0 \end{cases}\) 在点 $x = 0$ 处连续,则 $a = $ __ .

2. 若 $f(x) = e^{-x}$,则 $f^{(n)}(x) = $ __ .

3. $\displaystyle \int \ln x dx = $ __ .

4. 曲线 $\displaystyle y = x^3 - x + 1$ 在 $(0, 1)$ 处的切线方程为 __ .

5. 函数 $y = x^3 + 3x^2 - 1$ 在 $[-1, 1]$ 上最大值为 __ .

6. 设 $\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x^2}(t^3 - t)dt$,则 $F’(1) =$ __ .

7. $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3 - \sqrt{1-x^2})dx=$__ .

8. 曲线 $y = x^2$ 与曲线 $y = x$ 所围成图形的面积为 __ .

二、计算题

1. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x \sin^2 x} $

2. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x - 2\sin x}$

3. 设 $y = \ln(e^{3x} + 1)$ ,求 $dy$ .

4. 设 \(\displaystyle \begin{cases} x = e^t \sin t \\ y = e^t \cos t \end{cases}\) , 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

5. 设函数 $y = y(x)$ 是由方程 $xy + e^{-y} - 1 = 0$ 确定。 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

三、计算下列各题

1. $\displaystyle \int x \sqrt{1 + x^2} dx$ .

2. $\displaystyle \int x e^{3x} dx$.

3. $\displaystyle \int_{-1}^{2} \frac{x}{\sqrt{3 - x}} dx$ .

4. $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2+ 4x - 5} dx$ .

四、

1. 求函数 $y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7$ 的单调区间及极值。

2. 求曲线 $y = xe^{-x}$ 的凹凸区间和拐点。

五、

设函数 $f(x)$ 在$[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导, $f(a) = f(b) = 0$ 。

证明:存在 $\xi \in (a, b)$,使 $f(\xi) + f’(\xi) = 0$

B

一、填空题

1. 设函数 \(f(x) =\begin{cases}a + x, x > 0 \\ e^{-x},\space\space\space x \leq 0 \end{cases}\) 在点 $x = 0$ 处连续,则 $a = $ __ .

2. 若 $f(x) = x^n$,则 $f^{(n)}(x) = $ __ .

3. $\displaystyle \int x\ln x dx = $ __ .

4. 曲线 $\displaystyle y = e^x - 1$ 在 $(0, 0)$ 处的切线方程为 __ .

5. 函数 $y = 2x^3 + 3x^2 - 1$ 在 $[-2, 2]$ 上最大值为 __ .

6. 设 $\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x^3}(t^2 - t)dt$,则 $F’(1) =$ __ .

7. $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x + \sqrt{1-x^2})dx=$__ .

8. 曲线 $y = x^2$ 与曲线 $y^2 = x$ 所围成图形的面积为 __ .

二、计算题

1. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{x^2 \sin x} $

2. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x + 2\sin x}{x - 3\sin x}$

3. 设 $y = \ln(e^{-x} + 1)$ ,求 $dy$ .

4. 设 \(\displaystyle \begin{cases} x = e^{-t} \sin t \\ y = e^{-t} \cos t \end{cases}\) , 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

5. 设函数 $y = y(x)$ 是由方程 $xy + e^{-y} + 1 = 0$ 确定。 求 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 。

三、计算下列各题

1. $\displaystyle \int x \sqrt{1 + x^2} dx$ .

2. $\displaystyle \int x \sin 3x dx$.

3. $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{3 - x}} dx$ .

4. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+ 3x + 2} dx$ .

四、

1. 求函数 $y = 2x^3 - 9x^2 - 12x - 5$ 的单调区间及极值。

2. 求曲线 $y = xe^{x}$ 的凹凸区间和拐点。

五、

证明:$\displaystyle \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x, \space\space(x > 0)$